Directional Distributions

그럼 이번에는 위치가 아닌 방향에 대해서 생각해 보자. 앞에서와 같이 임의의 사각형에서 rays가 만들어지고 무한영역으로 rays가 발산해 나간다면 이 rays들은 어떤 방향분포를 가지고 있을까? 그리고 우리는 이것을 어떻게 이해하면 좋을까?

우선 가설을 하나 세우자. 방향에 대한 분포를 시각화하기 위해 그림 12.26의 사각형을 아주 작게 만들어 보자. 즉, 아주 멀리서 이 사각형을 보면 아마 하나의 점에서 rays가 만들어진 것처럼 보일 것이다. 그리고 이 점을 원점으로 하는 아주 큰 구 하나를 생각해 보자. 그리고 구의 안쪽 표면에 발산된 rays가 맺힌다고 생각해 보자. 그러면 광원의 크기나 위치는 무시할 수 있으며 단지 rays의 방향에만 집중할 수 있을 것이다.

만약 구의 반경을 단위길이로 생각한다면 구 표면에 맺힌 점의 직교좌표가 곧 각 벡터의 방향 코사인을 의미하게 된다. ASAP은 원래 광선의 방향을 방향 코사인을 이용해서 계산하고 저장하기 때문에 단위구상에서 생각하는 것은 쉬운 일이다. 그런데, ASAP의 결과를 보여주는 것은 결국 평면 모니터나 문서가 될 것인데, 이것은 3D가 아닌 2D이다. 결국 3D 구면상에 맺힌 Rays의 결과를 2D의 평면으로 변환 할 수 있어야 한다. 그럼 ASAP에서 3D 구면상에 맺힌 Rays의 특성을 저장하는 방법과 우리가 좀 더 직관적으로 결과를 볼 수 있는 2D 평면으로 변환하는 방법에 대해서 알아보자.

Spot Direction_01
그림 12.26 일정한 면적에서 발생한 Rays의 방향 분포

ASAP에서는 3D를 분석하기 위해서 다음과 같은 세가지 방법을 제공한다.

1) 3D Radian Sphere(3차원 광점 구면법) : 구의 표면을 동일한 크기의 삼각형(Bin)으로 분할하고, 각 분할 영역에 들어온 rays의 Flux 를 구하는 방법이다. 구 표면을 동일한 크기로 분할하기위해 삼각형을 사용하였으며 이렇게 되면 원점으로부터의 동일한 입체각(Solid angle)을 가지게 할 수 있다.

아래 그림 12.27은 위의 광원에서 나온 rays의 방향과 세기 결과를 보여주는 그림이다. 구 표면이 삼각형으로 되어 있고, 삼각형 위에서 왼쪽 마우스를 클릭하면 각 Bin의 위치값인 Theta, Phi 와 Flux/sr 값, 그리고 Bin에 입사된 rays의 개수를 확인할 수 있다. 이 결과는 메뉴바의 Rays > Graphics > Radiant Sphere 를 통해서 생성된다.

그림에 Level 5 라는 것이 있는데, 이것은 Bin의 크기를 결정하는 것으로 값이 커지면 Bin의 크기는 작아진다. 즉, Level 값이 크다는 것은 해상력이 높다는 뜻이다. Level 값은 2~7 사이의 정수값으로 변경이 가능하며 3D Viewer가 활성화된 상태에서 메뉴바의 File > 3D Viewer File Prefer-ences… 에서 RaySet 탭에 보면 Max subdivision level: 이 있다. 여기에서 값을 변경하면 된다. 단, Level 7 정도를 사용하기 위해서는 Rays가 100만개 이상이 필요하다. 그렇지 않으면 너무 높은 Level에서는 좋은 결과를 얻을 수 없다. Level 값을 변경했다면  Rays > Graphics > Radiant Sphere 를 통해서 sphere를 다시 그려주어야 변경 값이 반영된다.

이 방법은 결과 해석에 가장 직관적이고 해석하기 쉬운 방법이다. 그러나 결과를 보기위해서는

3D Viewer가 있어야 하고 마우스로 하나하나 찍어봐야 한다. Excel을 통해서 전체적인 그래프를 그릴 수가 없다. 우리는 표를 작성하거나 그래프를 그려서 결과를 시각화하고 싶은 경우가 많다.

3D Radian Sphere
그림 12.27 Radiant Sphere를 이용한 Bin의 결과

2) Direction Cosine(방향 코사인법)  : Radiant Sphere의 한계를 극복하기 위해 방향 코사인법을 이용한다. 이것은 구의 표면에 있는 Rays의 결과를 중심을 지나는 반구의 바닥 평면으로 투영시키는 것이다. 흔히 지도를 종이에 그릴때 산의 높이를 등고선으로 나타내는 것과 같이 생각하면 된다. 2D 평면에 그림을 그렸지만 우리는 산의 높이를 짐작할 수 있다.

단위구를 생각해 보자. XY(Z= 0)평면에 투영된 값을 Z축 방향으로 평행하게 역투영해보면 구 표면의 결과로 다시 표현할 수 있게 된다. 이 개념을 가지고 오면 Z축을 무시하고 XY축으로만 결과를 표현할 수 있게 되는 것이다.

Direction Cosine 방법도 Radiant Sphere와 같이 동일한 영역을 고려하여 결과를 분석하게 되는데 여기서는 구 표면이 아닌 투영된 평면을 정사각형으로 분할하여 분석한다. XY 평면에 정사각형으로 나누어진 영역을 구 표면으로 역투영해 보면 구 표면에서는 각도에 따라 면적이 달라지는 것을 확인할 수 있다. 그림 12.28을 보면 더 쉽게 이해할 수 있을 것이다. 여기서 고려해야 하는 사항이 있다. Direction Cosine 방법은 한쪽의 반구만을 고려하는 것으로 한정한다. 즉, 반구만을 고려하고 이를 반구의 바닥에 해당하는 평면에 투영하여 상을 보는 것이다. 그런데, 단위구의 표면 값을 평면에 투영하였기 때문에 구 표면의 결과와 투영된 평면의 결과에 차이가 있는 것은 당연하다. 투영으로 인해 왜곡이 발생한 것이다. 그리고, 반구가 아닌 전체 구를 고려하려면 위/아래를 나누어서 각각을 분석해야 한다.

그림 12.28의 반구 표면에 표시된 영역을 생각해 보자. 원점에서 Lambertion 광원이 발산하여 구 표면에 도달한 rays의 결과를 보여준다. 그림을 보면 Z축에서 멀어질수록 Rays의 수가 줄어든다. 그러나, 이를 XY 평면에 투영해서 투영면에서 동일 면적을 고려한다면 rays의 수는 오른쪽 그림과 같이 균일하게 분포한다. 이것이 Lambertion 분포의 특징이다. 즉, 투영했을때의 분포를 균일하게 가져가기위해 구면상에서 고려되는 입체각은 축을 기준으로 멀어질수록 큰폭의 각도 영역을 가지게 되는 것이다. 설명이 좀 어렵게 느껴지지만 그림을 보면 바로 그 의미를 알 수 있을 것이다.

투영된 결과에 대해서는 여러 명령어를 통해서 다양한 형태로 분석할 수 있다. 투영된 결과를 보는 명령어는 뒤에서 좀 더 자세히 알아보자.

그림 12.28 Direction Cosine의 의미

3) Spherical Coordinate(구면 좌표계법)  : 이 방법은 공간상의 방향을 두개의 구면각으로 표현하는 것이다. 이 두개의 구면각이 천정각과 방위각이다. 천정각은 극축을 기준으로 아래 방향으로 향하는 각(천정각 혹은 극각, Polar or Zenith angle : θ )이고, 방위각은 축을 중심으로 돌아가는 방향의 각(Azimuth angle : Φ )이다.

그림 12.29를 보면 천정각과 방위각으로 분할된 검정색 영역을 확인할 수 있다. 이것은 3D Radian Sphere의 Bin으로 구분하는 것과는 상이하다. Spherical Coordinate로 분할된 영역은 크기가 균일하지도 않고 동일한 입체각을 가지지도 않는다. 또, 극축에 있는 영역은 삼각형 모양이고 적도에 있는 영역은 정사각형에 가깝다. 즉, 극축에 가까울수록 왜곡이 심해진다. 그래서 일반적으로 극축을 중요한 정보가 없는 뱡향으로 설정하는 것이 좋다. 즉, 보고싶은 방향을 적도쪽으로 놓고 설계하면 거의 정사각형의 격자로 분석할 수 있다.

천정각은 극축에서 아래쪽으로 향하는 각이기 때문에 0°에서 180°사이의 값만 의미가 있다. 180°를 넘거나 음수를 가지는 각은 의미가 없다. 그러나, 방위각은 0°에서 360°혹은 -180°에서 180°의 값을 사용한다.

구면 좌표계에 사용되는 명령어 들에 대해서도 뒤에서 더 자세히 알아보자.

Spherical Coordinate
그림 12.29 Spherical Coordinate의 정의

 

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